Epicicloidi e ipocicloidi
Un cerchio rotola senza strisciare attorno a un altro, all’esterno o all’interno, e un punto del suo bordo lascia una traccia. Tutto dipende da un solo numero: il rapporto tra i due raggi. Sceglilo e scopri quando la curva si chiude, dopo quanti giri, e quando invece non si chiude mai.
Simulatore interattivo
Parametri e opzioni
Parametri
Scegli il tipo di curva e il rapporto k = R / r tra il raggio del cerchio fisso e quello del cerchio mobile.
Cambiando tipo di curva o rapporto la traccia ricomincia da capo.
Come nasce la curva
Un cerchio di raggio \(r\) rotola senza strisciare lungo un cerchio fisso di raggio \(R\). Se rotola all’esterno, un punto del suo bordo descrive un’epicicloide; se rotola all’interno, un’ipocicloide. Sono parenti stretti della cicloide, la curva tracciata da un punto di una ruota che avanza su una strada dritta.
Chiamiamo \(\theta\) l’angolo che individua la posizione del centro del cerchio mobile. “Senza strisciare” vuol dire che gli archi a contatto sono uguali: l’arco percorso sul cerchio fisso, \(R\theta\), è uguale all’arco srotolato sul cerchio mobile. Da questa sola condizione si ricavano le equazioni parametriche. Per l’epicicloide:
\[ \begin{aligned} x &= (R+r)\cos\theta - r\cos\!\left(\frac{R+r}{r}\,\theta\right)\\ y &= (R+r)\sin\theta - r\sin\!\left(\frac{R+r}{r}\,\theta\right) \end{aligned} \]e per l’ipocicloide, dove il cerchio mobile gira nel verso opposto:
\[ \begin{aligned} x &= (R-r)\cos\theta + r\cos\!\left(\frac{R-r}{r}\,\theta\right)\\ y &= (R-r)\sin\theta - r\sin\!\left(\frac{R-r}{r}\,\theta\right) \end{aligned} \]C’è un dettaglio sorprendente. Rotolando all’esterno, il cerchio mobile ruota su sé stesso di \(\frac{R+r}{r}\theta\), non di \(\frac{R}{r}\theta\): al rotolamento si somma il giro che il cerchio compie attorno a quello fisso. È il paradosso della moneta: una moneta che rotola attorno a un’altra uguale compie due rotazioni complete, non una. Lo stesso meccanismo rende il giorno siderale più corto di quello solare.
Tutto dipende da k = R / r
La forma della curva dipende soltanto dal rapporto \(k = R/r\); il valore di \(r\) fissa solo la scala del disegno. La domanda decisiva è: dopo quanti giri il punto torna dove era partito? Perché accada, il centro deve aver compiuto un numero intero \(n\) di giri attorno al cerchio fisso e, nello stesso tempo, l’arco srotolato \(2\pi R\, n\) deve corrispondere a un numero intero \(m\) di circonferenze del cerchio mobile. Cioè \(R\,n = r\,m\), ovvero \(k = m/n\).
Se k è intero basta un giro: la curva si chiude subito e ha esattamente \(k\) cuspidi, le punte in cui il punto tocca il cerchio fisso e, per un istante, è fermo.
Se k = p/q è razionale (ridotto ai minimi termini) servono \(q\) giri attorno al cerchio fisso, e lungo il percorso si formano \(p\) cuspidi. Prova per esempio \(k = 5/2\) o \(k = 7/3\).
Se k è irrazionale l’uguaglianza \(k = m/n\) è impossibile: il punto non ripassa mai dalla posizione iniziale e la curva non si chiude. Giro dopo giro, la traccia riempie in modo denso una corona circolare. È la stessa distinzione che separa le figure di Lissajous con frequenze commensurabili da quelle con frequenze incommensurabili, e i moti periodici da quelli quasi periodici.
Alcune curve con un nome
- Cardioide (epicicloide, \(k = 1\)): ha la forma di un cuore e, non per caso, è il contorno del bulbo principale dell’insieme di Mandelbrot.
- Nefroide (epicicloide, \(k = 2\)): è la caustica luminosa che si vede sul fondo di una tazza illuminata di lato.
- Segmento (ipocicloide, \(k = 2\)): il punto oscilla avanti e indietro lungo un diametro. È la coppia di al-Tusi, ideata nel XIII secolo per ottenere un moto rettilineo da moti circolari e ripresa da Copernico.
- Deltoide (ipocicloide, \(k = 3\)): un triangolo curvilineo con tre cuspidi.
- Astroide (ipocicloide, \(k = 4\)): ha equazione cartesiana \(x^{2/3} + y^{2/3} = R^{2/3}\) ed è l’inviluppo di una scala che scivola lungo un muro.
- Stella (ipocicloide, \(k = 5/2\)): cinque punte disegnate in due giri.